@Konne
Ohje, wenn man nicht alles per Copy&Paste macht. Sorry, es sollte
nicht heißen:
sondern korrekt ist (und auch das Ergebnis der Berechnungen):
(Ich habs in obigem Post geändert)
Zum Überprüfen einfach mit Copy&Paste in den Formeleplotter eintragen:
http://www.mathe-online.at/fplotter/fplotter.html
Das Verfahren ist:
- 1. Bestimme die "beiden" Matrizen: Einmal für die linken Seiten der Gleichungen Matrix A und für die rechten Seiten (die y-Werte) die Matrix B.
2. Packe beide zusammen in die erweiterte Matrix M := [A|B], also füge einfach die Spalte B dazu (hier muss also nichts in der Form [A]* oder so gerechnet werden).
(Die Schritte 1. und 2. könnte man auch zusammenfassend beschreiben zu "Stelle die zu den Gleichungen zugehörige Matrix auf")
3. Führe die Gauss-Elimination durch.
( http://de.wikipedia.org/wiki/Gaußsches_ ... sverfahren oder http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/i ... terung293/ )
4. Multipliziere die Zeilen jeweils so, dass in der Hauptdiagonalen nur Nullen und Einsen stehen.
(Die Schritte 3 und 4 zusammen werden manchmal auch erweiterte Gauss-Elimination genannt.)
5. Lese die Lösungsmenge ab: Rechte Spalte von oben nach unten ist die spezielle Lösung (liefert also die gesuchten Koeffizienten a_5, ..., a_0) . Falls in der Hauptdiagonalen irgendwo Nullen stehen, kann man diese durch eine -1 ersetzen und von den zugehörigen Spaltvektoren sämtliche skalare Vielfache zur speziellen Lösung hinzuaddieren. Sind in der Hauptdiagonalen nur Einsen, gibt es also nur die spezielle Lösung. Ist in der Zeile, wo in der Hauptdiagonalen eine 0 steht, ganz rechts eine Zahl ungleich 0, gibt es keine Lösung.
(Zusammenfassend für alle Schritte könnte man also sagen:
Stelle die Matrix zu den Gleichungen auf und bestimme die Lösungsmenge durch die erweiterte Gauss-Elimination.)
Für dein Ausgangsproblem brauchst du also nur die beiden Punkte zu nehmen, (x_1, y_1), (x_2, y_2) und kannst dann direkt die gesuchten Koeffizienten (a_5, ..., a_0) berechnen durch:
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a_i = i-te Zeile in letzter Spalte der Lösungsmatrix aus vorigem Beitrag
Ich sehe grade, ich hätte diese Werte mal Faktorisieren sollen - dass vereinfacht sie enorm. Hier also die Lösungen einzeln und faktorisiert (diesmal wieder mit Copy&Paste
):
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a_5 = (6*y_1-6*y_2)/(x_1-x_2)^5
a_4 = -15*(y_1-y_2)*(x_2+x_1)/(x_1-x_2)^5
a_3 = 10*(x_1^2+4*x_2*x_1+x_2^2)*(y_1-y_2)/(x_1-x_2)^5
a_2 = -30*(y_1-y_2)*(x_2+x_1)*x_2*x_1/(x_1-x_2)^5
a_1 = 30*(y_1-y_2)*x_2^2*x_1^2/(x_1-x_2)^5
a_0 = (y_2*x_1^5-5*x_2*y_2*x_1^4+10*x_2^2*y_2*x_1^3-10*x_2^3*y_1*x_1^2+5*x_2^4*y_1*x_1-x_2^5*y_1)/(x_1-x_2)^5
@Franky
Integrale sind eindeutig bestimmt bis auf den
konstanten Summanden am Ende, (der in Rückrichtung durch das Ableiten verschwindet).
Dieser macht den Braten aber auch nicht fett.
Die Faktorisierung ist bis auf die Reihenfolge der Faktoren ebenfalls eindeutig.
Da gibts also leider keine Möglichkeit.
Sieh es positiv: Immerhin
ist sie integrierbar!
