Zufallsvariablen - Unabhängigkeit

[DarkDragon]

Hallo,

Ich bin stark verwirrt zur Zeit durch die Verschachtelungen im Erwartungswert, Varianz rund um Zufallsvariablen. Hier mal eine Aufgabe:

(Omega, P) ist ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum
Omega = { 0, 1, 2 }
P(omega) = 1/3, für alle omega element Omega

X : Omega --> Reelle Zahlen : omega |--> omega + 3
Y : Omega --> Reelle Zahlen : omega |--> |omega * 3 - 3|

Also:
X(0) = 3, X(1) = 4, X(2) = 3 und P[X = x] = 1/3 für x element WX (Wertebereich von X).
Y(0) = 3, Y(1) = 0, Y(2) = 3 und P[Y = 3] = 2/3 und P[Y = 0] = 1/3.

Nun soll ich zeigen, dass X und Y nicht unabhängig sind. D.h.
P[X = x ^ Y = y] != P[X = x] * P[Y = y] für mindestens ein x element WX und y element WY.

Naja das einzig mögliche das ich hier sehe was ungleich sein könnte wäre ja da wo P[Y = 3] = 2/3 ist:
P[Y = 3 ^ X = egal] != P[Y = 3] * P[X = egal]

Aber das stimmt ja nicht (2/9 = 2/3 * 1/3).

Kann mir da jemand weiterhelfen?

Desweiteren hätt ich da noch ein kleineres Problem:
(n + 1)^2 + 1/6 * n * (n + 1) * (2n + 1)

(n + 1)^2 soll in den Rest des Terms so integriert werden, dass
1/6 * (n + 1) * ((n + 1) + 1) * (2(n + 1) + 1)
rauskommt.

[remi_meier]

Ok:

Wir haben die Formeln:

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Allgemein:  P[X=x ^ Y=y] = P[X=x] * P[Y=y | X=x]
Unabhängig: P[X=x ^ Y=y] = P[X=x] * P[Y=y]

Wir müssen also zeigen, dass:

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P[Y=y] != P[Y=y | X=x]
für ein x und ein y

Mit x=3 wissen wir, dass Omega=0 sein musste. Also ist die bedingte
W'keit, dass y=0 ist, Null:

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Omega=0
P[Y=0 | X=3] = 0 !
gemäss Aufgabe ist aber
P[Y=0] = 1/3

Wir haben also einen Widerspruch zur Unabhängigkeit.


Vielleicht stimmt's sogar, ist nun schon ein Jahr her

greetz
Remi

[DarkDragon]

Danke remi_meier.

Jetzt weiß ich warum ich da bisher immer falsch dachte:
P[Y=y | X=x] - ich dachte das müsse nicht auf ein omega element Omega zurückführend sein und es würde z.B. Y=3 und X=4 gehen (Also omegaY = 0 oder 2 und omegaX = 1).