Intensionale Darstellung von Mengen

[DarkDragon]

Hallo,

Ich hab ein Problem mit Mengen und zwar muss ich jetzt die Bildmenge von f : R --> R : x |--> 2^(-x^2) für den Intervall (reelle Zahlen) [-2,1] bestimmen. Wenn ich nun so vorgehe:

{ 2^(-x^2) | x € R ^ -2 <= x <= 1 } klappt ja alles wunderbar, aber darf ich das überhaupt? Links von der Pipe sollte doch keine Funktion stehen, oder doch? Wenn nicht dann käme das hier raus:

{ x | x € R ^ -2 <= sqrt(-1 * \log(y)/log(2)) <= 1 } was aber wiederum den Intervall ändern würde, denn die Wurzel weiß ja nicht ob positiv oder negativ.

[Little John]

und zwar muss ich jetzt die Bildmenge von f : R --> R : x |--> 2^(-x^2) für den Intervall (reelle Zahlen) [-2,1] bestimmen.

Ich hoffe, diese Abbildung hilft Dir weiter.

Gruß, Little John

//edit: Datei mit der Abbildung wieder vom Server gelöscht

[DarkDragon]

und zwar muss ich jetzt die Bildmenge von f : R --> R : x |--> 2^(-x^2) für den Intervall (reelle Zahlen) [-2,1] bestimmen.

Ich hoffe, diese Abbildung hilft Dir weiter.

Gruß, Little John

Leider nicht, denn es geht um die Darstellung dessen was auf deinem Bild zu erkennen ist:

{ 2^(-x^2) | x € R ^ -2 <= x <= 1 }
oder
{ x | x € R ^ -2 <= sqrt(-1 * \log(y)/log(2)) <= 1 }

Trotzdem danke .

[EDIT]
Little John: Habs auch angepasst im Zitat

[Froggerprogger]

Ich vermute, dass der Bildbereich als Intervall gefragt ist - nicht als solch eine komplizierte Beschreibung, die einfach nur eine Umformung der Funktionsgleichung ist. Folgende Überlegungen dazu:

Die Funktion f(x)=2^(-x^2) hat nur nicht-positive Exponenten und ist daher maximal für x=0 mit Funktionswert 2^0=1. Zudem ist sie streng monoton fallend für x>0 und streng monoton steigend für x<0, und ganz wichtig: stetig. Damit ist sie auf [-2, 1] entweder an Stelle -2 oder 1 minimal. Entweder testet man beides aus, oder man nutzt, dass sie zudem wegen dem x^2 auch achsensymmetrisch zur y-Achse ist, damit ist sie hier minimal für |x| maximal, also an Stelle -2 mit Funktionswert 2^(-(-2)^2) = 2^(-4) = 1/16. Der Bildbereich ist also eine Teilmenge von [1/16, 1], und da f stetig ist, wird auch jeder Zwischenpunkt angenommen, also ist der Bildbereich exakt [1/16, 1].

So oder ähnlich müsste man also argumentieren, um den Bildbereich nicht nur als umgeformte Funktionsgleichung zu erhalten, sondern als schön einfaches Intervall.

[DarkDragon]

Nein es muss die Bildmenge genau so beschrieben werden, da bin ich mir sicher. Ich weiß nur nicht ob man diese nur durch die Umkehrfunktion beschreiben darf oder auch durch die normale Funktion.

Hier die ganze Übung:
http://www.inf.uni-konstanz.de/algo/leh ... ebung9.pdf

Über die Stetigkeit und Monotonität lässt sich nur bei Linearen Funktionen die komplette Bildmenge beschreiben.

Aber die Beschreibung ist ja eigentlich auch nicht kompliziert, nur weiß ich halt nicht ob das links vom | in der Menge auch eine Funktion sein kann oder nur elementare Variablen beinhalten kann.

Trotzdem danke .

[Froggerprogger]

Über die Stetigkeit und Monotonität lässt sich nur bei Linearen Funktionen die komplette Bildmenge beschreiben.

Ich verstehe nicht ganz die Aussage, die Du da triffst. Fakt ist aber, dass für beliebiges auf Intervall A stetiges und monoton steigendes f : A -> IR mit a,b aus A gilt, dass f([a,b]) = [f(a), f(b)], und analog f([a,b]) = [f(b), f(a)] für monoton fallendes. Die eine Teilmengenbeziehung folgt aus der Monotonie, die andere aus dem Zwischenwertsatz, der die Stetigkeit benötigt. Linearität muss nicht vorausgesetzt werden.

Ich vermute, als Antwort auf Aufgabe 1.a) genügt es zu sagen, dass f([-2,1]) = [1/16, 1] und dass f({x|x \in IR, x > 1}) = ]0, 1/2[
Denn dort wird nichteinmal nach einer Begründung oder einem Beweis gefragt, aber in beiden Fällen ließe sich über Stetigkeit und Monotonie argumentieren. Aber im Zweifel machs lieber so, wie der/die Ü-Gruppenleiter/in sagt. Vielleicht liegt der Schwerpunkt bei Euch ja grad auf dem Finden von Umkehrfunktionen, dann wäre die Beschreibung der Bildmenge mittels der Umkehrfunktion vielleicht zu rechtfertigen - ansonsten aber viel zu unpraktisch. Nur als allgemeine Anmerkung: [1/16, 1] ist lediglich eine andere Schreibweise für {x \in IR | 1/16 <= x <= 1}. Aber obwohl auch [1/16, 1] = {2^(-x^2) \in IR | x \in [-2, 1]} gilt, ist die letztere Darstellung auf eine nicht grad triviale Berechnungsvorschrift angewiesen und daher weniger geeignet, um die 'simple' Menge [1/16, 1] zu beschreiben, erst recht die Beschreibung über die Umkehrfunktion:

Code: Alles auswählen

y = 2^(-x^2)
=> log2(y) = (-x^2) * log2(2) = (-x^2)
=> sqrt(-log2(y)) = x

Dabei ist die letzte Umformung nur dann gültig, wenn log(y) <= 0 ist, also y <= 1, allerdings muss dass hier zunächst völlig unabhängig von f vorausgesetzt werden. Außerdem versucht Du mit der Darstellung {2^(-x^2) \in IR | x \in [-2, 1]} = {y \in IR | -2 <= sqrt(-log2(y)) <= 1} die gesuchte Bildmenge von f als ebenfalls nicht explizit bestimmte Definitionsmenge der Umkehrfunktion darzustellen - das ist ein bisschen tautologisch, da kann man auch gleich die Definition hinschreiben: f([-2,1]) = {f(x) | x \in [-2,1]}

[DarkDragon]

Über die Stetigkeit und Monotonität lässt sich nur bei Linearen Funktionen die komplette Bildmenge beschreiben.

Ich verstehe nicht ganz die Aussage, die Du da triffst. Fakt ist aber, dass für beliebiges auf Intervall A stetiges und monoton steigendes f : A -> IR mit a,b aus A gilt, dass f([a,b]) = [f(a), f(b)], und analog f([a,b]) = [f(b), f(a)] für monoton fallendes. Die eine Teilmengenbeziehung folgt aus der Monotonie, die andere aus dem Zwischenwertsatz, der die Stetigkeit benötigt. Linearität muss nicht vorausgesetzt werden.

Ich vermute, als Antwort auf Aufgabe 1.a) genügt es zu sagen, dass f([-2,1]) = [1/16, 1] und dass f({x|x \in IR, x > 1}) = ]0, 1/2[
Denn dort wird nichteinmal nach einer Begründung oder einem Beweis gefragt, aber in beiden Fällen ließe sich über Stetigkeit und Monotonie argumentieren. Aber im Zweifel machs lieber so, wie der/die Ü-Gruppenleiter/in sagt. Vielleicht liegt der Schwerpunkt bei Euch ja grad auf dem Finden von Umkehrfunktionen, dann wäre die Beschreibung der Bildmenge mittels der Umkehrfunktion vielleicht zu rechtfertigen - ansonsten aber viel zu unpraktisch. Nur als allgemeine Anmerkung: [1/16, 1] ist lediglich eine andere Schreibweise für {x \in IR | 1/16 <= x <= 1}. Aber obwohl auch [1/16, 1] = {2^(-x^2) \in IR | x \in [-2, 1]} gilt, ist die letztere Darstellung auf eine nicht grad triviale Berechnungsvorschrift angewiesen und daher weniger geeignet, um die 'simple' Menge [1/16, 1] zu beschreiben, erst recht die Beschreibung über die Umkehrfunktion:

Code: Alles auswählen

y = 2^(-x^2)
=> log2(y) = (-x^2) * log2(2) = (-x^2)
=> sqrt(-log2(y)) = x

Dabei ist die letzte Umformung nur dann gültig, wenn log(y) <= 0 ist, also y <= 1, allerdings muss dass hier zunächst völlig unabhängig von f vorausgesetzt werden. Außerdem versucht Du mit der Darstellung {2^(-x^2) \in IR | x \in [-2, 1]} = {y \in IR | -2 <= sqrt(-log2(y)) <= 1} die gesuchte Bildmenge von f als ebenfalls nicht explizit bestimmte Definitionsmenge der Umkehrfunktion darzustellen - das ist ein bisschen tautologisch, da kann man auch gleich die Definition hinschreiben: f([-2,1]) = {f(x) | x \in [-2,1]}

Darum geht es mir, darf ich vor dem | ein f(x) hinschreiben oder muss ich da x haben. Wir haben das nämlich alles immer auf der rechten seite gehabt:

{x \in \mathbb{R} | ...} war bei uns nie der Fall, wir haben immer geschrieben
{x | x \in \mathbb{R} \land ... }

Und desshalb ist es nicht klar, ob ich jetzt das 2^(-x^2) links von dem Balken haben darf. Um was anderes gehts ja garnicht.

Wenn es wirklich durch den Intervall beschrieben werden soll, dann sollte der Professor es ja wohl auf die Übung schreiben. Was will er schon dagegen tun wenn ich das jetzt so mache? Er hat nicht explizit verlangt, dass wir es durch Intervalle beschreiben. Und somit ist jede Darstellung gültig, oder nicht?

P.S.: Ich dachte vorhin, du meintest die Funktion sei komplett einseitig monoton in dem Intervall und desshalb könne man es so schreiben. Jetzt hab ich kapiert was du da meintest.

[Froggerprogger]

Allgemein kann man das schreiben wie man will, z.B. gilt
{x^2 | x \in IN} = {x \in IN | \exists p \in IN mit p^2 = x} = {x \in IN | sqr(x) \in IN} = {x*y \in IN | x \in IN, y \in IN, x=y} = {x^2 \in IN | x \in IZ} = {x | "x ist Quadratzahl einer natürlichen Zahl"} Das sind alles Schreibweisen für dieselbe Menge und alle ebenso gültig, nur sind manche je nach Einsatzgebiet besser/schlechter geeignet, etc. Meistens wird jedoch wenn möglich eine Schreibweise gewählt, die links eine einzelne Variable und ihren Grundbereich definiert und rechts vom | dann Bedingungen an diese stellt, hier also eher z.B.: {x \in IN | \exists p \in IN mit p^2 = x} Wichtig ist in jedem Fall, dass für jede auftauchende Variable und jeden auftauchenden Ausdruck der Grundbereich klar definiert ist z.B. ist in der Darstellung {x \in IN | sqrt(x) \in IN} implizit verlangt, die reellwertige Funktion sqrt auszurechnen.

Wenn es wirklich durch den Intervall beschrieben werden soll, dann sollte der Professor es ja wohl auf die Übung schreiben. Was will er schon dagegen tun wenn ich das jetzt so mache? Er hat nicht explizit verlangt, dass wir es durch Intervalle beschreiben. Und somit ist jede Darstellung gültig, oder nicht?

Laut den Angaben vom Übungszettel werden dort je nach Aufgabe verschiedene Mengen gesucht - mal Bildmengen, mal Urbildmengen, etc. Die beste Beschreibung einer Menge zeichnet sich dadurch aus, adäquat das im jeweiligen Fall gewünschte unmittelbar zu zeigen. Würdest Du zu Aufgabe 1.a) hinschreiben: f([-2,1]) = {2^(-x^2) | -2 <= x <= 1} so ist wäre das in meinen Augen genauso am Ziel vorbei, wie die Schreibweise f([-2,1]) = {y \in \IR | y <= 1 und -2 <= sqrt(-(log(y)) <= 1}. Beidemale wird nur irgendwie die Definition für den Bildbereich eingesetzt, ohne dass ein klares Ergebnis herauskommt. Würde hingegen jemand f([-2,1]) = [1/16, 1] nennen, wäre ich als Korrektor zufrieden - zumal nirgends eine Begründung gefordert wurde. Dabei ist auch die Intervallschreibweise nix besonderes, das extra erwähnt werden muss - sondern einfach eine gängige und klare Schreibweise für einen häufig auftauchenden Typ Teilmengen der reellen Zahlen. Genauso würde ich erwarten, dass bei f : IR -> IR, x |-> 2*x jemand als f([0, 1]) = [0, 2] hinschreibt, anstelle f([0,1]) = {y \in IR | 0 <= 1/2 * y <= 1}

Am Besten frag grad per Mail den Übungsgruppenleiter, oder schreibe alle Lösungen auf, denn schließlich sind diese bis auf die Schreibweise und den zu erbringenden Lösungsfindungsweg alle gleich richtig.

[DarkDragon]

Hmm... ich schreib einfach beides hin (ein = mehr oder weniger ist ja irrelefant).

Danke, damit habt ihr beide mir geholfen, auch wenn ich es anfangs nicht gleich verstanden habe .