Wahrscheinlich haben alle Funktionen im Bild nichteinmal ein Extremum oder einen Wendepunkt (daher erst recht keinen Sattelpunkt) in einem der vorgegebenen Punkte.
Es sind zwei völlig verschiedene Sachen, das Polynom durch ein paar Punkte zu legen, oder zudem noch zu fordern, dass einer davon ein besonderer ist. Hierfür muss man dann ja die Ableitungen mit einbauen, und darf daher nur weniger Punkte vorgeben.
Ich glaube erst jetzt habe ich gecheckt, was Du eigentlich willst.
Also:
2 Punkte sind gegeben, beide sollen Sattelpunkte sein (Wendepunkte mit 1. Ableitung 0 darin).
Wir suchen ein Polynom 5-ten Grades, welches diese Bedingungen erfüllt.
Ist das möglich ?
2 Gleichungen werden durch die Punkte festgelegt.
2 weitere Gleichungen dadurch, dass die Ableitung in den Punkten gleich 0 sein soll (notwendig für Sattelpunkt).
2 weitere Gleichungen dadurch, dass die 2. Ableitung in den Punkten gleich 0 sein soll (damit diese Punkte Wendepunkte sein können (die dritte Ableitung lassen wir außen vor, da es egal ist, ob die Kurve links/rechts, rechts/links, oder direkt gerade hinduchgeht)).
Damit müssen wir 6 Gleichungen erfüllen, und haben 6 Unbekannte, nämlich die 6 Koeffizienten. D.h. wir erhalten im Regelfall wahrscheinlich eine eindeutige Lösung.
Wie sehen die Gleichungen aus ?
Seien die Punkte (x_1, y_1) und (x_2, y_2).
Dann muss gelten:
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x_1^5 * a^5 + x_1^4 * a^4 + x_1^3 * a^3 + x_1^2 * a^2 + x_1^1 * a^1 + 1 * a^0 = y_1
x_2^5 * a^5 + x_2^4 * a^4 + x_2^3 * a^3 + x_2^2 * a^2 + x_2^1 * a^1 + 1 * a^0 = y_2
5*x_1^4 * a^5 + 4*x_1^3 * a^4 + 3*x_1^2 * a^3 + 2*x_1 * a^2 + 1 * a^1 + 0 * a^0 = 0
5*x_2^4 * a^5 + 4*x_2^3 * a^4 + 3*x_2^2 * a^3 + 2*x_2 * a^2 + 1 * a^1 + 0 * a^0 = 0
20*x_1^3 * a^5 + 12*x_1^2 * a^4 + 6*x_1^1 * a^3 + 2 * a^2 + 0 * a^1 + 0 * a^0 = 0
20*x_2^3 * a^5 + 12*x_2^2 * a^4 + 6*x_2^1 * a^3 + 2 * a^2 + 0 * a^1 + 0 * a^0 = 0
Worin die a_i die gesuchten Unbekannten sind.
Die entsprechende Matrix sieht so aus:
der Gaussjordan führt uns zur (eindeutigen, falls nicht durch Null dividiert) Lösung:
Damit können wir nun zu 2 beliebigen Sattelpunkten ein Polynom 5ten Grades durchlegen.
Z.B. für (-2,-2) und (2,2) erhalten wird als Polynom:
Das sieht dann so aus:
Mathe macht Spaß!
Ich muss nun aber Schlafen gehen, bei uns hier ist schon tiefe Nacht...
