*Weihnachtsrätsel!*

[AND51]

Na der Witz an der Sache ist, dass Archlles die Kröte nie einholen wird, da die Rechnung wie ich sie beschrieben habe unendlich fortgesetzt werden kann:

Am Anfang:
Vorsprung: 100 Meter; Archilles läuft 10-mal so schnell wie die Kröte, Kröte ist 10-mal so langsam wie Archilles.

1. Archilles läuft die 100 m, die Kröte hat in der Zeit (weil langsamer) 1/10 dieser Strecke = 10 m geschafft.
2. Archilles läuft die 10 m, die Kröte hat in der Zeit (weil langsamer) 1/10 dieser Strecke = 1 m geschafft.
3. Archilles läuft die 1 m, die Kröte hat in der Zeit (weil langsamer) 1/10 dieser Strecke = 0,1 m geschafft.
4. Archilles läuft die 0,1 m, die Kröte hat in der Zeit (weil langsamer) 1/10 dieser Strecke = 0,01 m geschafft.
5. Archilles läuft die 0,01 m, die Kröte hat in der Zeit (weil langsamer) 1/10 dieser Strecke = 0,001 m geschafft.
6. ...und...
7. ...so...
8. ...weiter...

Verstehst du? Wenn man das relativ sieht, dann hat die Schildkröte immer einen Vorsprung, auch wenn der rapide kleiner wird. Der Wert des Vorsprungs erreicht nie 0, sonst wären Archilles und die Kröte auf gleicher Höhe, d. h. keiner hätte einen Vorsprung.

Dieser "Beweis" geht zurück auf den griechischen Philosophen Zenon (450 v. Chr.). Wer hat kann ja mal nachschlagen: "Elemente der Mathematik 11 (Nordrhein-Westfalen)", auf Seite 244 (ISBN: 3-507-83930-X, Schroedel)

[freedimension]

Also ich kenne nur Achilles

[AND51]

Hast du es denn verstanden?

[Laurin]

Du meinst eine Grenzwertfunktion. Wenn man die Zeit in immer kleinere (hier 1/10) Abstände unterteilt, ist es klar, dass Archilles der Schildkröte immer näher kommt, sie aber nie überholt.
Der Grenzwert bei diesem Beispiel ist der Punkt am Weg, wo Archilles und Schildkröte gleichauf liegen.

@freedimension
Mach dir nix drauß
Achilles wäre unterwegs sicher einmal hingeflogen.

[Karl]

Die Begründung bezieht sich auf eine Stückelung der Beobachtungszeiträume.

"Normal" wäre:

Der Gesamtweg ergibt sich als

s = v*t + s0

Achilles startet beim 0-Meter, die Kröte bei 100 m.

Zudem sei va = 10vs. Somit gilt

sach = va * t, ssch = vs * t + 100
sach = 10vs*t

Gesucht ist der Meter, an dem beide gleich auf sind:

sach = ssch

10vs*t = vs*t + 100
9vs*t = 100

also

t = 100m/(9*vs)

Weil vs <> 0 ist, gibt es also eine Lösung. Damit wäre das Problem gelöst. Achilles liegt irgendwann mindestens gleich auf. Damit wäre die Schildkröte eingeholt, oder nicht?

Gruß Karl

PS: Das ist eher ein philosopisches Problem (diskret oder stetig?)

[AND51]

Nee, also ich weiß nicht, wie ich es noch anders erklären soll, aber so, wie die Aufgabe in meinem Mathematikbuch steht und ich sie verstehe, wird Archilles die Schildkröte nie einholen. Es heißt ja auch am Anfang der Aufgabe:
"Der griechische Philospoh ZENON (450 v. Chr.) behauptete, Achilles [Anm. hier ohne "r" geschrieben] könne eine Schildkröte nicht einholen." Also mir sagt das "nicht", dass Achilles es nie und nimmer schaffen wird.

[Sylvia]

Glaube keinem Philosophen, den du nicht selbst gekannt hast.

[Kaeru Gaman]

Glaube keinem Philosophen, den du nicht selbst gekannt hast.

genau


der Gag beim Zeno'schen Paradoxon ist einfach, dass Zeno die Logig schlechthin anzweifeln wollte.

Jeder weiss, dass ein Läufer eine Schildkröte überholen kann.

Zeno wollte hiermit praktisch zeigen: Wenn ich die Fragestellung nur genug konstruiere,
dann kann ich mit Logik eigentlich alles beweisen, sogar den größten Unsinn.

[AND51]

Da gebe ich dir Recht. Ich finde die hier verwendete "Logik" auf irgendeina Art und Weise faszinierend, so habe ich das noch nie gesehen. Aber trotzdem sage ich immer noch, dass jeder die Schildkröte einholen kann.