Tipps zu Kombinatorik, Stochastik, Analysis

[Little John]

Aber hier noch was ganz konkretes:
Beim bestimmen der Taylorreihe von f(x) = 1 / ((1 - x)^2) soll als n-te Ableitung f^(n)(x) = (n + 1)! / ((1 - x)^(n + 2)) rauskommen. Wie denkt man sich sowas dann aus? Für n < 2 geht das ja noch, aber dann wirds schwer und ich weiß nicht wie man das schnell innerhalb von 3-5 Minuten hinbekommt. Völlig unmöglich.

Die Funktion ohne Bruchstrich geschrieben:

Code: Alles auswählen

f(x) = (1-x)^(-2)

Kettenregel und elementare Ableitungsfunktionen angewendet:

Code: Alles auswählen

f'(x)    =  -2     * (1-x)^(-3) * (-1)  =  2     * (1-x)^(-3)
f''(x)   =  -2*3   * (1-x)^(-4) * (-1)  =  2*3   * (1-x)^(-4)
f'''(x)  =  -2*3*4 * (1-x)^(-5) * (-1)  =  2*3*4 * (1-x)^(-5)
...

Man erkennt das Prinzip. In 3-5 Minuten geht's wohl nur wenn man in Übung ist.

Gruß, Little John

[DarkDragon]

Aber hier noch was ganz konkretes:
Beim bestimmen der Taylorreihe von f(x) = 1 / ((1 - x)^2) soll als n-te Ableitung f^(n)(x) = (n + 1)! / ((1 - x)^(n + 2)) rauskommen. Wie denkt man sich sowas dann aus? Für n < 2 geht das ja noch, aber dann wirds schwer und ich weiß nicht wie man das schnell innerhalb von 3-5 Minuten hinbekommt. Völlig unmöglich.

Die Funktion ohne Bruchstrich geschrieben:

Code: Alles auswählen

f(x) = (1-x)^(-2)

Kettenregel und elementare Ableitungsfunktionen angewendet:

Code: Alles auswählen

f'(x)    =  -2     * (1-x)^(-3) * (-1)  =  2     * (1-x)^(-3)
f''(x)   =  -2*3   * (1-x)^(-4) * (-1)  =  2*3   * (1-x)^(-4)
f'''(x)  =  -2*3*4 * (1-x)^(-5) * (-1)  =  2*3*4 * (1-x)^(-5)
...

Man erkennt das Prinzip. In 3-5 Minuten geht's wohl nur wenn man in Übung ist.

Gruß, Little John

Das was ich nicht verstehe ist, wieso man eigentlich das so machen kann. Immerhin hört man bei ganzrationalen Funktionen doch auch bei 0 auf und geht nicht ins negative mit dem Exponenten. Und warum geht das bei Wurzeln genauso mit dem -1 für den Exponenten? Eigentlich bin ich ja in Übung, aber eben nur für ganzrationales und nicht für Kettenregel etc. (Das ist zu lange her).

Trotzdem danke.

[gnasen]

Das was ich nicht verstehe ist, wieso man eigentlich das so machen kann. Immerhin hört man bei ganzrationalen Funktionen doch auch bei 0 auf und geht nicht ins negative mit dem Exponenten. Und warum geht das bei Wurzeln genauso mit dem -1 für den Exponenten?

Es gibt doch nichts, was das verbietet. Solange du keine elementaren mathematischen Grundsätze verletzt darfst du ableiten bis dir schwindelig wird. Vorallem wenn bei einer Aufgabe gesagt wird: Führe eine Taylor-Entwicklung bis zum zB 5. Grad durch, so wird die Funktion definitiv 5 mal ableitbar sein.
Und der negative Exponent ist ja nur eine andere Form der Notation für a^(-n) = 1/(a^n), genauso wie die Wurzel: nte Wurzel von a = a^(1/n).

[Little John]

Und warum geht das bei Wurzeln genauso mit dem -1 für den Exponenten?

Wie Gnasen schon schrieb, steht ein negativer Exponent nicht für eine Wurzel, sondern für einen Ausdruck der mit positivem Exponenten im Nenner stehen würde. Der Trick ist hier, dass allein durch die andere Schreibweise mit dem negativem Exponenten das Ableiten erheblich erleichtert wird.

Jetzt sollte hier eine Graphik von Stargates Bild-Formel-Editor kommen. Aber entweder ich mache was falsch, oder das funktioniert nicht mit dem neuen Forum:
[img]http://math.q-soft.ch/@Fr1{a^x}.is.a^{-x}.png[/img]

Na ja, Gnasen hat's schon "ungraphisch" hingeschrieben.

Gruß, Little John

[ts-soft]

[offtopic]geht doch: [/offtopic]

[DarkDragon]

Danke für die Antworten.

Und warum geht das bei Wurzeln genauso mit dem -1 für den Exponenten?

Wie Gnasen schon schrieb, steht ein negativer Exponent nicht für eine Wurzel, sondern für einen Ausdruck der mit positivem Exponenten im Nenner stehen würde.

Nein nein so mein ich das nicht. Bei Wurzeln des n-ten Grades schreibt man ja statt Wurzel(a) dann auch a^(1/n). Und da kann man ja auch einfach den Exponenten dekrementieren mit -1 beim Ableiten. Das lernt man aber in der Schule nicht, dass man das darf. In der Schule hört man bei 0 auf und geht nicht weiter runter. Bei dem Exponenten 1/2 wäre der abgeleitete Exponent -1/2 und dazu gibt es keine "Gehe nie unter 0" Regel, was mich irgendwie verwundert. Wahrscheinlich hängt es wohl damit zusammen, dass man bei (x^(1/2))' = (1/2) * x^(-1/2) noch aussagen über das ursprüngliche x treffen kann, bei (x^1)' = x^0 = 1 aber nicht, weil x^0 immer 1 ist und das abgelitten ergibt 0.

So meinte ich das.

@gnasen: Es wäre toll, wenn ich nur eines Konstanten Grades ableiten müsste. Aber bei der Taylorreihe wollen die immer die Ableitung in Abhängigkeit von n hier.

[Little John]

2DarkDragon:
Da hatte ich Dich falsch verstanden, tut mir leid.

Bei Wurzeln des n-ten Grades schreibt man ja statt Wurzel(a) dann auch a^(1/n). Und da kann man ja auch einfach den Exponenten dekrementieren mit -1 beim Ableiten. Das lernt man aber in der Schule nicht, dass man das darf. In der Schule hört man bei 0 auf und geht nicht weiter runter.

Das war bei uns in der Schule nicht so, und dafür gibt's auch keine mathematische Regel. Da hat dann nur Euer Lehrer nichts von erzählt:

Code: Alles auswählen

f(x) = a*x^n + c  =>  f'(x) = a*n*x^(n-1)  [für n ist Element aus R]

In dem anders gelagerten Fall, wenn x im Exponenten steht, ist es allerdings so dass a > 0 sein muss:

Code: Alles auswählen

f(x) = a^x  =>  f'(x) = a^x * ln a  [für a > 0]

... denn für a <= 0 ist ln a nicht definiert.

Gruß, Little John

[DarkDragon]

Yai! Es lief ziemlich gut in der Klausur . Wollt ich nur mal erwähnt haben. Danke nochmals an alle für das Material.

[Little John]

Freut mich sehr!
Und danke für die Rückmeldung.

Gruß, Little John