3D - Rotation

[Andreas_S]

ok fertig



Zum allgemeinen:
x, y, z ... sind Punkte die den Abstand vom Ursprung angeben

a ... alfa
b ... beta
c ... gama

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X - Rotation:
	x' = x
	y' = cos(a) * y - sin(a) * z
	z' = sin(a) * y + cos(a) * z

Y - Rotation:
	x' = cos(b) * x - sin(b) * z
	y' = y
	z' = sin(b) * x + cos(b) * z

Z - Rotation:
	x' = cos(c) * x - sin(c) * y
	y' = sin(c) * x + cos(c) * y
	z' = z

Um dies allgemeinen Gleichungen in Matrizen umzuformen nimmt man jeweils die Faktoren der entsprechenden x, y, z Koordinaten:

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X - Rotation:
		x				--> x ... 1, y ... 0     , z ... 0
		cos(a) * y - sin(a) * z		--> x ... 0, y ... cos(a), z ... -sin(a)
		sin(a) * y + cos(a) * z		--> x ... 0, y ... sin(a), z ... cos(a)

	Y - Rotation:
		cos(b) * x - sin(b) * z		--> x ... cos(b), y ... 0, z ... -sin(b)
		y				--> x ... 0     , y ... 1, z ... 0
		sin(b) * x + cos(b) * z		--> x ... sin(b), y ... 0, z ... cos(b)

	Z - Rotation:
		cos(c) * x - sin(c) * y		--> x ... cos(c), y ... -sin(c), z ... 0
		sin(c) * x + cos(c) * y		--> x ... sin(c), y ... cos(c) , z ... 0
		z				--> x ... 0     , y ... 0      , z ... 1

Das entspricht dann volgenden Matrizen:

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X - Rotation:

		    ┌                         ┐
		    |  1   0        0         |
		    |                         |
		A = |  0   cos(a)   -sin(a)   |
		    |                         |
		    |  0   sin(a)   cos(a)    |
		    └                         ┘

	Y - Rotation:

		    ┌                         ┐
		    |  cos(b)   0   -sin(b)   |
		    |                         |
		B = |  0        1   0         |
		    |                         |
		    |  sin(b)   0   cos(b)    |
		    └                         ┘

	Z - Rotation:

		    ┌                         ┐
		    |  cos(c)   -sin(c)   0   |
		    |                         |
		C = |  sin(c)   cos(c)    0   |
		    |                         |
		    |  0        0         1   |
		    └                         ┘

(Man könnte hier eigendlich noch

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   ┌   ┐
   | x |
   |   |
 * | y |
   |   |
   | z |
   └   ┘

anführen aber das hab ich mir gespart weil es nicht notwendig ist)



Um aus diesen Matrizen eine zu machen rechnen wir einfach A * B * C

-> ps. achtung es dürfen bei Matrizen nie die Factoren vertauscht werden weil hier das Kommuntativgesetzt (oder wie das heißt) nicht gilt!

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            ┌                                                                                                                 ┐
            |   cos(b) * cos(c)                              -cos(b) * sin(c)                               -sin(b)           |
            |                                                                                                                 |
A * B * C = |  -sin(x) * sin(y) * cos(z) + cos(x) * sin(z)    sin(x) * sin(y) * sin(z) + cos(x) * cos(z)    -sin(a) * cos(b)  |
            |                                                                                                                 |
            |   cos(x) * sin(y) * cos(z) + sin(x) * sin(z)   -cos(x) * sin(y) * sin(z) + sin(x) * cos(z)     cos(a) * cos(b)  |
            └                                                                                                                 ┘

Das "Ergebnis" wird jetzt wieder

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   ┌   ┐
   | x |
   |   |
 * | y |
   |   |
   | z |
   └   ┘

und man bekommt volgendes herraus...

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x' =	x * (  cos(y) * cos(z) ) + 
	y * ( -cos(y) * sin(z) ) + 
	z * ( -sin(y) )

y' =	x * ( -sin(x) * sin(y) * cos(z) + cos(x) * sin(z) ) + 
	y * (  sin(x) * sin(y) * sin(z) + cos(x) * cos(z) ) + 
	z * ( -sin(x) * cos(y) );

z' =	x * (  cos(x) * sin(y) * cos(z) + sin(x) * sin(z) ) + 
	y * ( -cos(x) * sin(y) * sin(z) + sin(x) * cos(z) ) + 
	z * (  cos(x) * cos(y) )

Also wenns noch Fragen gibt, vil. kann ich sie beantworten...

Man glaubt garnicht wie schwer es ist Matrizen zu posten...

Andreas

[Scarabol]

Nice hat sich auf jedenfall gelohnt das viele Posten ,-)

Gruß
Scarabol

[NicTheQuick]

Das ist ein gutes Beispiel für Rotationsmatrizen. Man sieht auch sehr schön,
wie einheitlich sie für die einzelnen Achsen aufgebaut sind.

Wenn man sich mit Matrizen schon ein bisschen auskennt und ein gutes
räumliches oder sogar mehrdimensionales Vorstellungsvermögen hat, kann
man sich auch mal diesen Wikipedia-Artikel über Rotationsmatrizen durchlesen.
Dort wird unter anderem erklärt, wie man Drehmatrizen für n-dimensionale
Räume erstellt.
Außerdem gibt es dort eine Matrix, mit der man einen Punkt um eine
beliebige Achse in Form eines Vektors in R³ drehen kann.

[Andreas_S]

@NicTheQuick

Geniale Seite!

Zwei Frage Dazu:

Wie kommt man auf die zwei Matrizen im R2 Raum? :

Drehung eines Punktes:


Drehung eines Koordinatensystems:


Und kann man mit der Drehung des Koordinatensystems eine Art Camera-Effekt erzielen?

Danke im voraus,
Andreas

[Vermilion]

Ich schnall das nicht ganz.

Also ich hab des nicht ganz durchschaut, aber wenn ich nun (OpenGL ) die 3D Koordinaten eines Punktes habe, und die Drehungswinkel, wie verwende ich dann die oben niedergeschriebenen Gleichungen? Klar, man könnte ja glRotatef_(W.f, X.f, Y.f, Z.f) nutzen, aber das ist irgendwie nicht "richtig".

[Andreas_S]

Erster Post...

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// X + Y + Z Rotation
   result.x = rotatePoint.x + (cos(rotateAngle.y) * cos(rotateAngle.z) * d.x - sin(rotateAngle.z) * d.y - sin(rotateAngle.y) * d.z);
   result.y = rotatePoint.y + (sin(rotateAngle.z) * d.x + cos(rotateAngle.z) * cos(rotateAngle.x) * d.y - sin(rotateAngle.x) * d.z);
   result.z = rotatePoint.z + (sin(rotateAngle.y) * d.x + cos(rotateAngle.y) * cos(rotateAngle.x) * d.z + sin(rotateAngle.x) * d.y);

Die Variablen sollten sich von selbst erklären...

Valls du nicht OOP lesen kannst:
result, rotatePoint, rotateAngle .... sind 3D Vektoren
also eine Struktur mit 3 Variablen (x|y|z).

Falls du die Variablen nicht verstehst:
d ... der Vektor um den der angeführte Vektor 'rotatePoint' gedreht werden soll.
rotatePoint ... rotations Mittelpunkt (Vektor)
result ... der neue Vektor mit der neuen Position (Vektor)
rotateAngle ... rotations winkel (Vektor)

Ich befürchte aber das OGL vil. die winkel anders rum hat... dann müsste der Vektor mit -1 multipliziert werden... (-x|-y|-z)

[Vermilion]

OOP ist mir schon bekannt.

Habs jetzt nicht gebacken gekriegt, muss ich nochmal mehr mit rumprobieren...