@fweil
Si tu peux évoquer à ton ami mathématicien cette divergence que l'on a eu sur le départ du crible de chaque premier :
- 2P pour toi
- P * P pour moi
Cette divergence est essentielle pour la suite des événements. Car 2P, effectivement, ça simplifie plein de choses, en virtualisation, c'est clair que ça cartonne.
Mais P*P, ce n'est pas moi qui le veut : ce sont les maths. Ça apporte un lot de coïncidences tout aussi riche en numérique naturelle que 2P en apporte en numérique binaire.
En admettant P un nombre premier, et P(x) le x ième nombre premier.
P(1) = 2
P(2) = 3
P(3) = 5
P(4) = 7
Etc...
(On aurait pu commencer à P(0) = 2, mais bon...)
Je voulais tout simplement économiser de l'écriture de crible au strict minimum, en partant du principe que je vais cribler avec une suite
strictement croissante de nombres premiers. (2 puis 3 puis 5 etc...).
Par conséquent, si c'est croissant, quand j'arrive à un nombre premier au pif P(x), tous les multiples < P(x) ont déjà été criblés : c'est le principe d'Erathos.
Mais qu'en est-il de l'état du criblage de P(x) + 1 ? Si P(x) <> 2, P(x) + 1, est forcément multiple de 2, donc déjà criblé alors que... Ben, on y est pas encore !
(Nota : on pouvait écrire l'équivalent
"Si x <> 1, P(x) + 1 est forcément multiple de P(1)")
Alors, qu'en est-il des états de criblage déjà effectués avec P(x) + y ?
Sans vouloir (ni pouvoir) déterminer y, là, on se rend compte qu'avec la
permutabilité de la multiplication, il est inutile de cribler les produits z * P(x) tel que z < P(x), puisque, dans le cas d'un procédé
strictement croissant, ces cribles ont
déjà été effectués. Donc z >= P(x). Le criblage peut commencer avec z = P(x) (borne minimum de l'inéquation z >= P(x) ) donc, avec P(x) * P(x).
Aussi, toujours avec P(x), l'on constate un crible partiel assuré de manière périodique de 0 à l'infini.
La valeur de cette période est :
P(x - 1) * P(x - 2) * ... ... * P(1)
Ce charabia ressemble à une factorielle :
(x) * (x - 1) * (x - 2) * ... ... * 1
Mais, à ceci près qu'au lieu de multiplier x tout seul à chaque terme, on multiplie le x ième nombre premier à chaque terme.
Par convention, écrivons pFact(a) (ou p-fact(a) ) la "prime-factorielle" de a.
Ainsi pFact(5) = 5 * 3 * 2 * 1 = 30
Aussi pFact(5) = 5 * 3 * 2 = 30 : c'est moins "source de débat".
Pourquoi, pour P(x) existe-t-il un crible périodique partiel à partir P(x) * P(x) ?
Et pourquoi cette période est pFact(x - 1) ?
Et puis, qu'est-ce qu'un crible périodique partiel ?
De 3 à 1, on va considérer que...
Un crible périodique partiel (nommons cpp), c'est un crible (ou ensemble fini de naturels)
- qui s'inscrit en strict complément au crible d'Erathos simplifié aux seuls nombres premiers,
- qui ne contient donc absolument aucun nombre premier
- qui admet une répétition périodique à partir d'une valeur de départ (nommons ça une phase) jusqu'à l'infini
Ex (avec N > 0)
2N n'est pas un crible partiel mais c'est un crible quelconque
2(N + 1) est un cpp de période 2
3(N + 1) est un cpp de période 3
(avec x > 0)
x * (N + 1) sont des cpp de période x
P(x) * (N + 1) sont des cpp de période P(x)
P(x) * P(x) * (N + 1) sont des cpp de période (P(x) * P(x) )
pFact(x) * (N + 1) sont des cpp de période pFact(x)
Maintenant, ce qui nous intéresse c'est d'associer à P(x) le cpp disposant de la période la plus grande.
Pourquoi? Pour aller plus vite informatiquement, dès qu'on constate P(x).
On a constaté, plus haut, dès la différence entre 2N et 2(N + 1) que la position de départ est très importante.
La phase est très importante.
Pourquoi le cpp associé à P(x) tel que x > 1 admet une période
maximum de
pFact(x - 1)
avec une phase P(x) * P(x)
?
Pour les deux mêmes raisons qui nous permis de trouver la phase minimum P(x) * P(x) :
- Permutabilité de l'opération de multiplication pour les nombres entiers naturels
- Croissance stricte de P(x)
Mais aussi, parce que la position des nombres premiers étant strictement complémentaire à la position des nombres multiples, chaque multiple d'un naturel proscrivant sa possibilité d'être un nombre premier, et chaque multiple d'un produit de termes naturels s'inscrivant dans cette même proscription, la succession contigüe des naturels avec chaque naturel étant périodique, les exclusions de nombres d'être premier sont aussi périodiques, d'une part, et par
logique de consensus complémentaire (théorie des ensembles, je suppose), les plus petits diviseurs de chaque produit possible de nombres naturels "supérieurs à un" (pour ne pas annuler la notion de
plus petit diviseur) sont les seuls entiers naturels pouvant appartenir au termes du produit formant chaque période d'exclusion des nombres naturels à la candidature au status de nombre premier. Ces plus petits diviseurs étant
déjà démontrés comme nombre premier, l'on use de la confortable opération pFact(lambda) pour inventorier ces nombre premiers connus dans la forme d'un produit, et
parce que P(x) est déjà "considéré" dans la phase du cpp (P(x) *
P(x), et non pas P(x) *
2 qui est une constante donc qui gèle la possibilité d'évoluer mathématiquement.), l'on l'exclut par la réciproque de la multiplication : la division.
pFact(lambda) / P(x)
lambda étant x, on a :
pFact(x) / P(x) (qui, par simplification factorielle donne)
pFact(x - 1)
Ceci est donc la période maximale du cpp correspondant à P(x).
Ainsi, pour le nombre premier P(x) = 5, on va chercher pFact(x-1).
3 étant le nombre premier précédant 5, on a
pFact(3) = 3 * 2 = 6
Le cpp aura une période de 6.
La phase de criblage est à 25.
Toutes les combinaisons de produits de 3 et 2 (les nombres premiers déjà connus avant 5) guideront le criblage périodique par "homothétie" de coefficient.
5 donc ce sont les gaps après 5 qui nous intéressent (c'est un rappel du "protocole" sans faute, valable sans limite jusqu'à l'infini, que je t'ai écrit dans ce sujet, chaque étape bien numérotée) :
On a 2 gaps qui totalisent notre période de 6 : 2 + 4
Avec 25 criblé multiple, on ajoute
2 * 5
On crible donc 35
Avec 35 criblé multiple, on ajoute
4 * 5
On crible donc 55
Et rebelote à l'infini
C'est quand même cool, un processus qui crible uniquement ce qu'il faut à l'avance !
Maintenant, les factorielles étant "explosives" numériquement, il faut trouver un juste milieu, et se servir de chaque période (ce que je t'ai dit appeler une chenille de char d'assaut) comme le maillon d'une....
fractale.
